<title>QCM Mathematique ,nombres complexes ,arithmétique ,analyse numérique ,probabilité ,denombrement...: Corrigé Examen QCM corrigé mathématique générales(divers)

Corrigé Examen QCM corrigé mathématique générales(divers)

\begin{matrix} Q 1 . On doit calculer la \lim ite à droite et à gauche de \\ f (x) = \frac{{[x]}^{2} - 1}{x^{2} - 1} en effet, \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 0 et \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = + \infty \\ donc pas de \lim ite \\ Q 2 . \forall n > 0, x_{n} = 2 x_{n - 1} donc g é ometrique de raison q = 2, le probl é me se pose en 0 \\ car u_{0} = 0 pour \tan t u_{1} \neq 2 u_{0} . la r é ponse exacte on peut pas conclure \\ Q 3.5 solutions dans ℝ \\ S = \{0, 2, - 2, \sqrt{2 + \sqrt{6}}, - \sqrt{2 + \sqrt{6}}\} \\ Q 4 . On sait que f d é rivable en a si et seulement si f admet un DL 1 (a) \\ qui vaut : f (x) = f (a) + (x - a) f' (a) + \underset{x \to 0}{ο (x - a)} \\ on l' applique cette formule on obtient 8 f (a) f' (a) . \\ Q 5 . f' (3) = 1 / 2 \\ Q 6 . \forall x ∊ ℝ, x (1 - x) \leq 1 / 4 donc u_{n} (1 - u_{n}) \leq 1 / 4 ⊛ \\ (u_{n + 1} - u_{n}) (1 - u_{n}) \geq 0 car 0 \leq u_{n} \leq 1 d' ou la croissance de u_{n} . \\ d' apres ⊛ et par passage au \lim ite on aura \{\begin{matrix} l (1 - l) \leq 1 / 4 \\ l (1 - l) \geq 1 / 4 \end{matrix} \\ d' ou l (1 - l) = 1 / 4 \Leftrightarrow l = 1 / 2 \\ Q 7 . le d é veloppement \lim it é donne u_{n} = \frac{(- 1)}{n^{α / 2}} {(1 + \frac{1}{n^{α / 2}})}^{- 1 / 2} = \frac{(- 1)}{n^{α / 2}} (1 - \frac{1}{2 n^{α / 2}} + o (\frac{1}{n^{α}})) \\ = \frac{(- 1)}{n^{α / 2}} - \frac{1}{2 n^{3 α / 2}} + o (\frac{1}{n^{3 α / 2}}) \\ la serie du terme \frac{(- 1)}{n^{α / 2}} verifie la condition de convergence des s é ries altern é s . \\ - \frac{1}{2 n^{3 α / 2}} + o (\frac{1}{n^{3 α / 2}}) \sim - \frac{1}{2 n^{3 α / 2}} CV si \frac{3}{2} α > 1 en conclusion \sum_{2}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{{(- 1)}^{n} + n^{α}}} CV si \\ α > 2 / 3 \\ Q 8 . l' equation f (z) = 1 n' as pas de solution ou encore 1 n' as pas d' antecedents \\ donc la premiere et la deuxieme affirmation sont fausses . \\ la troizieme est fausse (on prend f (2 i) = 3 \notin E). \\ la seule affirmation qui est correcte est f (E) = i ℝ (f (1) = i donc vrai puisque 1 ∊ E). \\ Q 9 . Soit B une partie de E de cardinal k . \\ le nombre de partie A de E tq A \subset B est card [P (B)] = 2^{k} en plus on sait qu' il y a C_{n}^{k} \\ partie de B à k elements de E . \\ On a ainsi card \{(A, B) ∊ P^{2} (E) / A \subset B\} = \sum_{k = 0}^{n} 2^{k} C_{n}^{k} = 3^{n} CQFD \\ Q 10 . on note X = k por l' apparition de la boule blanche pour la premiere \\ fois au ki é me tirage . \\ P (X = 1) = \frac{2}{n}, P (X = 2) = \frac{n - 2}{n} \times \frac{2}{n - 1}, P (X = 3) = \frac{n - 2}{n} \times \frac{n - 3}{n - 1} \times \frac{2}{n - 2} \\ ... P (X = k) = \frac{2 (n - k)}{n (n - 1)} \\ Or E (X) = \sum_{k = 1}^{n} k . P (X = k) = \frac{2}{n (n - 1)} \sum_{k = 1}^{n} k (n - k) Or on sait que : \\ \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2} et \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \\ par calcul on trouve E (X) = \frac{(n + 1)}{3} \\ Q 11 . S = \{7 k + 3, 7 k + 5\}, k ∊ ℤ \\ Q 12 . On utilise |\sin x - x| \leq \frac{x^{3}}{6} \\ \sum_{k = 0}^{n} |\sin (\frac{1}{n + k}) - \frac{1}{n + k}| \leq \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{6 {(n + k)}^{3}} \leq \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{6 n^{3}} \underset{n \to + \infty}{\to} 0 (car \frac{1}{6 n^{3}} ne d é pend pas de k) \\ donc notre somme CV \underset{n \to + \infty}{\to} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{n + k} = \ln 2 (Int é grale de Reimann) \\ Q 13 . \lim_{x \to 0} \frac{f (x) \times f (2 x) \times f (3 x) \times ..... \times f ((n - 1) x)}{x^{n - 1}} = \lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{1} \times \frac{f (2 x)}{x} \times \frac{f (3 x)}{x} \times .... \times \frac{f ((n - 1) x)}{x} \\ = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n - 1) = (n - 1)! \end{matrix}

$\begin{matrix} Q 1 . On \\ f (x) = \frac{{[x]}^{2} - 1}{x^{2} - 1} \\ donc \\ Q 2 . \forall n > 0 \\ car \\ Q 3.5 \\ S = \{0, 2, - 2, \sqrt{2 + \sqrt{6}}, - \sqrt{2 + \sqrt{6}}\} \\ Q 4 . On \\ qui \\ on \\ Q 5 . f' (3) = 1 / 2 \\ Q 6 . \forall x ∊ ℝ \\ (u_{n + 1} - u_{n}) (1 - u_{n}) \geq 0 \\ d' apres \\ d' ou \\ Q 7 . le \\ = \frac{(- 1)}{n^{α / 2}} - \frac{1}{2 n^{3 α / 2}} + o (\frac{1}{n^{3 α / 2}}) \\ la \\ - \frac{1}{2 n^{3 α / 2}} + o (\frac{1}{n^{3 α / 2}}) \sim - \frac{1}{2 n^{3 α / 2}} \\ α > 2 / 3 \\ Q 8 . l' equation \\ donc \\ la \\ la \\ Q 9 . Soit \\ le \\ partie \\ On \\ Q 10 . on \\ fois \\ P (X = 1) = \frac{2}{n}, P (X = 2) = \frac{n - 2}{n} \times \frac{2}{n - 1}, P (X = 3) = \frac{n - 2}{n} \times \frac{n - 3}{n - 1} \times \frac{2}{n - 2} \\ ... P (X = k) = \frac{2 (n - k)}{n (n - 1)} \\ Or \\ \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2} \\ par \\ Q 11 . S = \{7 k + 3, 7 k + 5\}, k ∊ ℤ \\ Q 12 . On \\ \sum_{k = 0}^{n} |\sin (\frac{1}{n + k}) - \frac{1}{n + k}| \leq \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{6 {(n + k)}^{3}} \leq \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{6 n^{3}} \underset{n \to + \infty}{\to} 0 \\ donc \\ Q 13 . \lim_{x \to 0} \\ = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n - 1) = (n - 1)! \end{matrix}$

\begin{matrix} Q 14 . \\ on s é que 5^{4} \equiv 1 (13) et A_{n} = \frac{1 - 5^{4 n}}{1 - 5^{n}} alors (1 - 5^{n}) A_{n} = 1 - {(5^{n})}^{4} = 0 [13] \\ donc 1 - 5^{n} = 0 [13] et n = 4 k ce qui fait A_{n} = 0 [13] ssi n \neq 4 k . \end{matrix}

$\begin{matrix} Q 14 . \\ on s é que 5^{4} \equiv 1 (13) et A_{n} = \frac{1 - 5^{4 n}}{1 - 5^{n}} alors (1 - 5^{n}) A_{n} = 1 - {(5^{n})}^{4} = 0 [13] \\ donc 1 - 5^{n} = 0 [13] et n = 4 k ce qui fait A_{n} = 0 [13] ssi n \neq 4 k . \end{matrix}$

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