QCM corrigé nombres complexes

$\begin{array}{c}\mathrm{QCM}\mathrm{Nombres}\mathrm{complexes}\hfill \\ \mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}1\hfill \\ \mathrm{Le}\mathrm{nombre}\mathrm{complexe}{\left(\frac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{1-\mathrm{i}}\right)}^{20}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{:}\hfill \\ \square 2^9\hfill \\ \square {\mathrm{i}2}^9\hfill \\ \square 2^9\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\hfill \\ ☑2^9\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\hfill \\ \mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}2\hfill \\ \mathrm{Soit}\mathrm{u}\mathrm{racine}5\mathrm{i}è\mathrm{me}\mathrm{de}\mathrm{l}\mathrm{\text{'}}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}é\mathrm{et}\mathrm{u}\ne 1\mathrm{,}\mathrm{alors}1+\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^2+{\mathrm{u}}^3\mathrm{est}é\mathrm{gale}\mathrm{:}\hfill \\ \square \frac{1}{\mathrm{u}}\hfill \\ ☑-\frac{1}{\mathrm{u}}\hfill \\ \square \frac{1}{\mathrm{u}-1}\hfill \\ \square \frac{1}{\mathrm{u}+1}\hfill \\ \mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}3\hfill \\ \sum _{\mathrm{k}=1}^{10}\sin \left(\frac{2\mathrm{k}\pi }{7}\right)+\mathrm{icos}\left(\frac{2\mathrm{k}\pi }{7}\right)\mathrm{est}é\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{:}\hfill \\ \square 1\hfill \\ \square -1\hfill \\ \square \mathrm{i}\hfill \\ ☑-\mathrm{i}\hfill \\ \mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}4\hfill \\ \mathrm{le}\mathrm{module}\mathrm{du}\mathrm{nombre}\mathrm{complexe}\mathrm{Z}={\left(\frac{2+\mathrm{i}\sqrt{5}}{2-\mathrm{i}\sqrt{5}}\right)}^{10}+{\left(\frac{2-\mathrm{i}\sqrt{5}}{2+\mathrm{i}\sqrt{5}}\right)}^{10}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{:}\hfill \\ ☑2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(20\mathrm{arcos}\left(\frac{2}{3}\right)\right)\hfill \\ \square 2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(20\mathrm{arcos}\left(\frac{2}{3}\right)\right)\hfill \\ \square 2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(10\mathrm{arcos}\left(\frac{2}{3}\right)\right)\hfill \\ \square 20\cos \left(2\mathrm{arcos}\left(\frac{2}{3}\right)\right)\hfill \\ \mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}5\hfill \\ \mathrm{la}\mathrm{partie}\mathrm{r}é\mathrm{elle}\mathrm{du}\mathrm{nombre}\mathrm{comple}\omega ={\left(1-\cos \theta +2\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \right)}^{-1}\mathrm{est}é\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{:}\hfill \\ \square \frac{1}{3+5\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }\hfill \\ ☑\frac{1}{5+3\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }\hfill \\ \square \frac{1}{3-5\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }\hfill \\ \square \frac{1}{5-3\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }\hfill \\ \mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}6\hfill \\ \mathrm{Soit}\omega \mathrm{le}\mathrm{point}\mathrm{d}\mathrm{\text{'}}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{.}\hfill \\ \mathrm{L}\mathrm{\text{'}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{complexe}\mathrm{du}\mathrm{rotation}\mathrm{de}\mathrm{centre}\omega \mathrm{et}\mathrm{d}\mathrm{\text{'}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}\frac{\pi }{2}\mathrm{est}\hfill \\ ☑\mathrm{z}\mathrm{\text{'}}=\mathrm{iz}+1+\mathrm{i}\hfill \\ \square \mathrm{z}\mathrm{\text{'}}=-\mathrm{iz}+1+\mathrm{i}\hfill \\ \square \mathrm{z}\mathrm{\text{'}}=\mathrm{iz}-1+\mathrm{i}\hfill \\ \square \mathrm{z}\mathrm{\text{'}}=\mathrm{iz}+1-\mathrm{i}\hfill \\ \mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}7\hfill \\ \mathrm{On}\mathrm{considere}\mathrm{le}\mathrm{nombre}\mathrm{complexe}\omega ={{\displaystyle \frac{2}{3}\mathrm{e}}}^{\frac{2\mathrm{i}\pi }{3}}\mathrm{,}\mathrm{on}\mathrm{pose}{\alpha }_{\mathrm{n}}=\left|{\omega }^{\mathrm{n}+1}-{\omega }^{\mathrm{n}}\right|\hfill \\ \mathrm{Alors}\mathrm{on}\mathrm{a}\mathrm{:}\hfill \\ ☑{\alpha }_{\mathrm{n}}=\frac{\sqrt{19}}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{n}}\hfill \\ \square {\alpha }_{\mathrm{n}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{n}+1}-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{n}}\hfill \\ \square {\alpha }_{\mathrm{n}}=\sqrt{\frac{15}{13}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{n}}\hfill \\ \square {\alpha }_{\mathrm{n}}=\sqrt{\frac{13}{15}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{n}}\hfill \\ \square {\alpha }_{\mathrm{n}}=\sqrt{\frac{3}{19}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{n}}\hfill \\ \mathrm{Question}8\hfill \\ \mathrm{Soit}\mathrm{I}\mathrm{le}\mathrm{po}\mathrm{int}\mathrm{d}\mathrm{\text{'}}\mathrm{affixe}3\mathrm{i}\mathrm{.}\hfill \\ \mathrm{L}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ensemble}\mathrm{des}\mathrm{po}\mathrm{int}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{\text{'}}\mathrm{affixes}\mathrm{z}\mathrm{telque}\left|\frac{\mathrm{iz}+3}{\mathrm{z}-3\mathrm{i}}\right|=1\mathrm{est}\mathrm{:}\hfill \\ \square \mathrm{l}\mathrm{\text{'}}\mathrm{axe}\mathrm{des}\mathrm{abscisse}\mathrm{.}\hfill \\ \square \mathrm{l}\mathrm{\text{'}}\mathrm{axe}\mathrm{des}\mathrm{ordonn}\mathrm{é}\mathrm{es}\mathrm{priv}\mathrm{é}\mathrm{du}\mathrm{po}\mathrm{int}\mathrm{I}\mathrm{.}\hfill \\ \square \mathrm{une}\mathrm{cercle}\mathrm{de}\mathrm{rayon}1\mathrm{priv}\mathrm{é}\mathrm{e}\mathrm{du}\mathrm{po}\mathrm{int}\mathrm{I}\mathrm{.}\hfill \\ ☑\mathrm{le}\mathrm{plan}\mathrm{priv}\mathrm{é}\mathrm{du}\mathrm{po}\mathrm{int}\mathrm{I}\mathrm{.}\hfill \\ \mathrm{Question}9\hfill \\ \mathrm{On}\mathrm{pose}\mathrm{S}=1+2{\omega }_0+3\omega +\mathrm{...}+\mathrm{n}\omega _0\mathrm{avec}{\omega }_0\mathrm{est}\mathrm{la}\mathrm{racine}\mathrm{ni}\mathrm{è}\mathrm{me}\mathrm{de}\mathrm{l}\mathrm{\text{'}}\mathrm{unit}\mathrm{é}\mathrm{.}\hfill \\ \mathrm{S}\mathrm{vaut}\mathrm{alors}\mathrm{:}\hfill \\ \square \mathrm{S}=\frac{1}{{\omega }_0-\mathrm{n}}\hfill \\ \square \mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}}{{\omega }_0-\mathrm{n}}\hfill \\ \square \mathrm{S}=\frac{1}{{\omega }_0-1}\hfill \\ ☑\mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}}{{\omega }_0-1}\hfill \\ \mathrm{Question}10\hfill \\ {\left(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\right)}^{3\mathrm{n}}+{\left(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\right)}^{3\mathrm{n}}\mathrm{vaut}\mathrm{:}\hfill \\ \square -1\hfill \\ \square 1\hfill \\ ☑2\hfill \\ \square 3\hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \end{array}$ TELECHARGER VERSION PDF